Mathématiques
446 documents en Spé MP
  • 16. Probabilités classiques - 15 documents
  • Annales corrigées - 10 documents
  • Applications - 6 documents
    • Formulaire
      Formulaire Applications linéaires
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      Cours
      Partie I : Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 Partie II : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 1 Partie III : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 2
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      * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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      * Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
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      * Lois de compositions Définition, parties stables, commutativité, associativité, distributivité ; éléments remarquables (neutre, symétrique d'un élément, élements simplifiables) ; morphismes, isomorphismes, isomorphisme réciproque ; propriétés "transportées" par un morphisme surjectif ; monoïde. * Stucture de groupe Définition ; groupe produit ; exemples divers de groupes ; dans un groupe les appns x->ax et x->xa sont bijectives ; table d'un groupe fini ; théorème de Lagrange. * Sous-groupes Définition ; caractérisations pour qu'une partie d'un groupe en soit un sous-groupe ; exemples ; les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ ; intersections quelconques de sous-groupes ; morphismes de groupe ; image (directe ou réciproque) d'un sous-groupe ; image ou noyau d'un morphisme de groupe ; caractérisation de l'injectivité par le noyau. * Groupes monogènes Sous-groupe engendré par un élément (ou une partie) ; ordre d'un élément dans un groupe ; groupes monogènes, groupes cycliques (générateurs.) ; eExemple du groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité ; exemple des groupes (Z/nZ,+) * Le groupe symétrique Groupe des permutations de {1,2,...,n} ; cycles, transpositions ; décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints deux à deux ; décomposition d'une permutation en produit de transpositions ; inversions, signature ; parité d'une permutation ; groupe alterné.
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      Problèmes
      Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
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  • Arithmétique des entiers - 9 documents
    • Formulaire
      Formulaire Arithmétique basique
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      Cours
      # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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      Exercices d'application
      Sur l'équation Diophantienne
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      Problèmes
      Extensions quadratiques
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      Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème, on établit le résultat qui permet de décrire, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens finis. Un tel groupe est en effet isomorphe, de façon unique, à un groupe produit H1xH2x...xHn, où chaque Hk est un groupe cyclique d'ordre dk, chacun des entiers dk divisant l'entier suivant d(k+1).
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude de certaines fonctions arithmétiques classiques: la fonction "nombre des diviseurs", la fonction "somme des diviseurs", la fonction de Moebius et l'indicateur d'Euler. On y étudie également le produit de Dirichlet sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, ainsi que quelques situations classiques (notamment la caractérisation des entiers parfaits pairs.) On termine par quelques propriétés asymptotiques (notamment sur les moyennes de certaines fonctions arithmétiques.)
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      Tout, tout, vous saurez tout (ou presque) sur les polynômes cyclotomiques. Le problème est divisé en huit parties. La première expose quelques propriétés, utiles pour la suite, des poynômes à coefficients entiers. La seconde est consacrée aux racines primitives n-ièmes de l'unité (plus généralement, on y trouve quelques propriétés classiques des groupes cycliques). Dans la troisième partie, on voit réapparaître l'indicateur d'Euler et la fonction de Mobius (qui figuraient déjà dans le DS n°4.) La partie IV introduit les polynômes cyclotomiques, et en donne les premières propriétés. La partie V donne des méthodes pratiques de calcul de ces polynômes. Dans la partie VI, on découvre quelques propriétés de leurs coefficients. Les parties VII et VIII démontrent l'irréductibilité du polynôme cyclotomique d'indice n, d'abord quand n est premier (avec le critère d'Eisenstein) ensuite dans le cas général.
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  • Calcul matriciel, systèmes linéaires, déterminants - 27 documents
    • Formulaire
      Formulaire Déterminants
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      Formulaire Systèmes linéaires et Matrices
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      Cours
      II.1 Définition et premières propriétés II.2 Polynôme caractéristique et valeurs propres II.3 Polynôme caractéristique et sous-espaces stables
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      III.1 Définitions et premières propriétés III.2 Conditions de diagonalisabilité
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      IV.1 Diagonalisation d’une matrice IV.2 Applications de la diagonalisation
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      Définition. Condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice A soit trigonalisable. Conséquence sur les valeurs propres des puissances de A.
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      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Exercices d'application
      (5 exercices)
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      Problèmes
      Un problème solide et instructif, où on voit calculer (de trois manières différentes) le déterminant d'une matrice dépendant d'un paramètre. On y voit aussi comment calculer le rang et le noyau de cette matrice. En filigrane, il s'agit aussi de calculer les valeurs et vecteurs propres d'une matrice antisymétrique.
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      Un problème qui présente une méthode de résolution itérative de systèmes linéaires. On y utilise des techniques de valeurs propres et notamment le rayon spectral: celui-ci permet de caractériser la rapidité avec laquelle la méthode converge vers une solution du système.
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      La notion de rayon spectral (plus grand module des valeurs propres réelles ou complexes d’une matrice) apparaît de façon récurrente dans les problèmes posés aux concours. Ce problème fait le point sur cette notion.
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      Un sujet très classique, développé ici dans le détail. Une des questions nécessite une bonne connaissance de la notion de base duale. Finalement un problème très complet où il est beaucoup question de formes linéaires en dimension finie. On y voit comment des techniques d’algèbre linéaire permettent de déterminer, par exemple, tous les carrés magiques d’ordre 3.
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      La décomposition LU des matrices inversibles est un thème très classique, souvent abordé dans les problèmes de concours. Ce thème est ici traité dans le détail. Le problème est assez long et technique. On y utilise abondamment les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices, et des calculs de matrices par blocs. Il vous faudra une bonne motivation, mais ça vaut le coup.
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      Un problème pas très long, mais vraiment technique, et qui explore le thème classique des matrices stochastiques. Puissances de matrices, récurrences, inégalités, valeurs propres, etc.
      Niveau de difficulté : 
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      Les quaternions forment le premier exemple historique d’un corps non commutatif (Hamilton.) Ce problème aborde l’étude de structures algébriques (groupes, anneaux, corps), en liaison avec la réduction des matrices (valeurs propres, déterminants, polynômes caractéristiques.)
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème assez court et plutôt facile. On étudie une famille de matrices M dépendant de deux paramètres. Pour calculer les puissances de M, on utilise deux méthodes distinctes, l’une fondée sur la recherche des valeurs propres de M, l’autre sur une récurrence.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème, on s’intéresse aux matrices M qui commutent avec une matrice A donnée. Ces matrices M forment ce qu’on appelle le commutant de A, et l’étude de ce commutant conduit à une discussion sur les valeurs propres de A. Très intéressant et complet. A ne pas manquer!
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      On étudie ici l’approximation "au sens des moindres carrés" d’un nuage de n points du plan par un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1. Pour résoudre ce problème, on utilise deux méthodes différentes: une approche matricielle et un point de vue géométrique (produit scalaire, projection orthogonale...) Un sujet très classique.
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      Le thème des déterminants de Gram est assez classique. Il permet entre autre de calculer la distance d’un point à un sous-espace d’un espace euclidien. Dans ce problème, il est donc question de produit scalaire, de valeurs propres, de projections orthogonales ... et de déterminants. Un bon sujet de révision sur les espaces euclidiens.
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      Le problème est consacré à l’étude des familles de vecteurs d’un espace euclidien qui sont acutangles (resp. obtusangles) c’est-à-dire dont les produits scalaires deux à deux sont tous positifs (resp. négatifs). C eproblème fait suite à celui consacré aux matrices et aux déterminants de Gram.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici la décomposition d’une matrice sous la forme QR (où Q est orthogonale et R est triangulaire.) La méthode exposée ici est celle Householder, qui est utilise des symétries orthogonales par rapport à des hyperplans.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici un produit scalaire sur l’espace des matrices réelles carrées d’ordre 2. Un problème assez technique mais vraiment utile pour qui veut réviser les notions relatives aux espaces eculidiens.
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      Problèmes de concours
      Problème révisions calcul matriciel
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  • Courbes de l'espace - 1 document
  • Courbes et arcs paramétrés du plan - 4 documents
    • Cours
      Partie I : Nappes paramétrées, propriétés affines Partie II : Arcs paramétrés, propriétés métriques
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      II.1 Rectification d’un arc paramétré II.2 Abscisse curviligne II.3 Formules de Frenet pour un arc plan
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      * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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  • Dénombrement - 2 documents
    • Le chapitre « Dénombrement » n'est que rarement l'objet de questions de concours en tant que telles. Cependant, il est assez fréquent (voire systématique) que les points de cours et méthodes usuels au dénombrement soient utilisés en probabilités (notamment lorsque l'on cherche à déterminer le nombre de « cas favorables » à la réalisation d'un événement dont on recherche la probabilité).
      C'est pourquoi ce chapitre mérite une attention particulière de la part du candidat qui devra structurer son raisonnement avec précision pour dénombrer correctement un ensemble car une parfaite maîtrise de ce chapitre est essentielle pour aborder en confiance les calculs de probabilité.
      Exercices d'application
      Probabilités et dénombrement
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      Problèmes
      Ce problème de révision de dénombrements fait le tour des raisonnements classiques, incontournables pour les concours : relation de récurrence entre cardinaux d’ensembles, partitions d’ensembles, raisonnement par récurrence, lien avec les applications. Les raisonnements présentés ici doivent être parfaitement maîtrisés.
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  • Dérivation, convexité - 20 documents
    • Formulaire
      Formulaire Décidabilité Convexité
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      Cours
      Partie I : Dérivabilité d’une fonction vectorielle Partie II : Applications de classe Ck Partie III : Intégrale des fonctions continues par morceaux Partie IV : Primitives et intégrales Partie V : Accroissements finis et formules de Taylor Partie VI : Intégrales dépendant d’un paramètre
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      I.1 Dérivabilité en un point I.2 Dérivabilité sur un intervalle
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      II.1 Opérations sur les applications de classe C1 II.2 Dérivées successives
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      V.1 Inégalité des accroissements finis V.2 Formules de Taylor V.3 Application aux développements limités
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      * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      * Limites des fonctions numériques Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées. * Comparaisons locales Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles. * Développements limités notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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      * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      * Continuité Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes. * Dérivabilité d'une fonction numérique Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point. * Dérivabilité sur un intervalle Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables. * Applications de classe Ck Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor. * Applications convexes Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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      * Intégrale des fonctions continues par morceaux Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation. * Calcul approché des intégrales Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes. * Primitives et intégrale d'une fonction continue Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles. * Fonctions à valeurs complexes Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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      * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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      # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Problèmes
      Un problème archi-classique et plutôt facile, où on introduit la famille des polynômes de Chebyshev, et où on prouve que ces polynômes possèdent une célèbre propriété de minimalité. A ne pas manquer.
      Niveau de difficulté : 
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      Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
      Niveau de difficulté : 
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      Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin". A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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      La transformée de Laplace est un outil mathématique très utilisé par les physiciens, et en sciences de l'ingénieur. On propose ici une introduction à cette théorie: le problème est long, technique, mais les questions sont progressives et détaillées. Il est ici volontairement traité avec les outils disponibles en MPSI.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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  • Ensemble et aplication - 1 document
  • Entiers naturels - 5 documents
    • Cours
      * Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
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      Problèmes
      Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème consacré au nombre d'or Phi. Dans une première partie (facile) on étudie deux suites convergeant vers Phi. La deuxième partie est consacrée aux rapports entre le nombre Phi et la suite de Fibonacci. Dans la troisième partie on démontre que les deux ensembles formés des parties entières des n*Phi d'une part et des parties entières des n*Phi^2 d'autre part (avec n dans N*) forment une partition de N* (et on voit aussi que cette propriété est caractéristique de Phi.) La dernière partie est une application de ce qui précède à l'étude d'une stratégie gagnante pour le jeu de Whitoff (dont on voit deux versions.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Équations différentielles linéaires - 13 documents
  • Equations différentielles non linéaires - Aucun document
  • Espaces préhilbertiens complexe, espaces hermitiens - 9 documents
  • Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens - 18 documents
    • Cours
      Partie I : Produit scalaire Partie II : Orthogonalité Partie III : Endomorphismes symétriques ou orthogonaux
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      I.1 Définition et premières propriétés I.2 Exemples classiques I.3 Norme et distance associées à un produit scalaire I.4 Règles de calcul
      DOCUMENT  
      II.1 Vecteurs orthogonaux II.2 Produits scalaires et familles orthonormales II.3 Orthogonal d’une partie de E
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      III.1 Adjoint d’un endomorphisme III.2 Endomorphismes orthogonaux III.3 Matrices orthogonales III.4 Endomorphismes symétriques III.5 Réduction des endomorphismes symétriques
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      * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      Exercices d'application
      (5 exercices)
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes
      Tout le programme de seconde année défile dans ce problème: équations différentielles, séries entières, produit scalaire, calcul intégral, Valeurs et sous-espaces propres: un must!
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      Un problème très complet sur le thème des suites de polynômes orthogonaux. Après une première partie qui expose les propiétés classiques de telles suites, on étudie plus particulièrement le cas des polynômes de Legendre. Un problème qu’il faut absolument avoir fait, tellement les questions posées ici irriguent nombre d’épreuves de concours!
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici l’approximation "au sens des moindres carrés" d’un nuage de n points du plan par un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1. Pour résoudre ce problème, on utilise deux méthodes différentes: une approche matricielle et un point de vue géométrique (produit scalaire, projection orthogonale...) Un sujet très classique.
      Niveau de difficulté : 
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      Les polynômes de Chebyshev (encore eux...) sont ici le prétexte pour aborder de nombreux thèmes du programme de seconde année: applications linéaires et valeurs propres, équations différentielles et séries entières, produits scalaires... Vraiment utile dans la préparation des écrits.
      Niveau de difficulté : 
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      Le thème des déterminants de Gram est assez classique. Il permet entre autre de calculer la distance d’un point à un sous-espace d’un espace euclidien. Dans ce problème, il est donc question de produit scalaire, de valeurs propres, de projections orthogonales ... et de déterminants. Un bon sujet de révision sur les espaces euclidiens.
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      Le problème est consacré à l’étude des familles de vecteurs d’un espace euclidien qui sont acutangles (resp. obtusangles) c’est-à-dire dont les produits scalaires deux à deux sont tous positifs (resp. négatifs). C eproblème fait suite à celui consacré aux matrices et aux déterminants de Gram.
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      On étudie ici la décomposition d’une matrice sous la forme QR (où Q est orthogonale et R est triangulaire.) La méthode exposée ici est celle Householder, qui est utilise des symétries orthogonales par rapport à des hyperplans.
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      On étudie ici un produit scalaire sur l’espace des matrices réelles carrées d’ordre 2. Un problème assez technique mais vraiment utile pour qui veut réviser les notions relatives aux espaces eculidiens.
      Niveau de difficulté : 
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  • Espaces vectoriels de dimension finie - 10 documents
    • Formulaire
      Formulaire Espaces vectoriels
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      Cours
      * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un sujet très classique, développé ici dans le détail. Une des questions nécessite une bonne connaissance de la notion de base duale. Finalement un problème très complet où il est beaucoup question de formes linéaires en dimension finie. On y voit comment des techniques d’algèbre linéaire permettent de déterminer, par exemple, tous les carrés magiques d’ordre 3.
      Niveau de difficulté : 
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      La décomposition LU des matrices inversibles est un thème très classique, souvent abordé dans les problèmes de concours. Ce thème est ici traité dans le détail. Le problème est assez long et technique. On y utilise abondamment les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices, et des calculs de matrices par blocs. Il vous faudra une bonne motivation, mais ça vaut le coup.
      Niveau de difficulté : 
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  • Espaces vectoriels et applications linéaires - 8 documents
    • Formulaire
      Formulaire Applications linéaires
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      Cours
      I.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme I.2 Endomorphismes stabilisant les sev d’une somme directe I.3 Polynômes d’endomorphismes ou de matrices I.4 Vecteurs et valeurs propres. Définitions I.5 Valeurs propres d’une matrice I.6 Vecteurs et valeurs propres. Propriétés I.7 Automorphismes intérieurs, matrices semblables
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      * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème complet et qui aborde des sujets variés: fonctions définies par des intégrales sur un intervalle quelconque, applications linéaires, fonctions de deux variables. Très efficace dans la préparation aux écrits.
      Niveau de difficulté : 
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  • Espaces vectoriels normés - 17 documents
  • Fonctions de deux ou trois variables - 8 documents
    • Cours
      # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème complet et qui aborde des sujets variés: fonctions définies par des intégrales sur un intervalle quelconque, applications linéaires, fonctions de deux variables. Très efficace dans la préparation aux écrits.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème propose l’étude de fonctions définies par des intégrales, sur un intervalle quelconque. Le concept de fonction intégrable, ainsi que les théorèmes qui permettent d’étudier de telles intégrales à paramètres sont ici particulièrement bien illustrés.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
      Un problème assez court et plutôt facile, où on étudie les propriétés d’une fonction f de deux variables, avant de définir une application linéaire sous forme d’une intégrale utilisant f. Le problème se termine avec l’étude d’une série de Fourier...
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
      Un problème volontiers calculatoire sur l’étude des fonctions elliptiques. Très classique. Beaucoup de techniques d’analyse: équations aux dérivées partielles, intégrales dépendant d’un paramètre, séries de fonctions...
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
      Niveau de difficulté : 
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  • Fonctions de p variables (p > 2) - 10 documents
  • Fonctions usuelles - 9 documents
    • Formulaire
      Formulaire Fonctions usuelles
      DOCUMENT  
      Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
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      Cours
      * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      * Continuité Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes. * Dérivabilité d'une fonction numérique Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point. * Dérivabilité sur un intervalle Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables. * Applications de classe Ck Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor. * Applications convexes Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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      * Intégrale des fonctions continues par morceaux Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation. * Calcul approché des intégrales Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes. * Primitives et intégrale d'une fonction continue Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles. * Fonctions à valeurs complexes Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      La transformée de Laplace est un outil mathématique très utilisé par les physiciens, et en sciences de l'ingénieur. On propose ici une introduction à cette théorie: le problème est long, technique, mais les questions sont progressives et détaillées. Il est ici volontairement traité avec les outils disponibles en MPSI.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes de concours
  • Fonctions vectorielles (dérivation et intégration) - 10 documents
  • Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques - Aucun document
  • Géométrie affine - 4 documents
    • Cours
      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      Exercices d'application
  • Géométrie euclidienne - 5 documents
    • Cours
      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Problèmes
      Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
      Niveau de difficulté : 
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      Gauss, alors agé de 19 ans, découvrit le 30 Mars 1796 que l'heptadécagone (polygone régulier convexe à 17 cotés) était constructible à la règle et au compas. Dans ce problème, on voit la construction proposée par Richmond en 1893. Pour se faire la main, on commence par la construction du pentagone régulier. Pour en arriver là, il faut passer par un peu de trigonométrie, et donner en particulier une expression de cos(2p/5) et cos(2p/17) à l'aide de radicaux.
      Niveau de difficulté : 
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  • Groupes et actions de groupe - 1 document
    • Problèmes
      Les quaternions forment le premier exemple historique d’un corps non commutatif (Hamilton.) Ce problème aborde l’étude de structures algébriques (groupes, anneaux, corps), en liaison avec la réduction des matrices (valeurs propres, déterminants, polynômes caractéristiques.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Groupes, anneaux, corps - 13 documents
    • Formulaire
      Formulaire Structures algébriques simples
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      Cours
      Polynôme minimal d'un élément algébrique sur un corps, extension algébrique finie d'un corps, théorème de d'Alembert-Gauss
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      * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      # Le corps des nombres complexes Définition de C ; notation cartésienne ; conjugaison ; module ; fonctions à valeurs complexes ; le plan complexe. # Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) ; formules de Moivre et d'Euler ; forme trigonométrique ; fonction exponentielle complexe. # Equations polynômiales dans C Théorème de d'Alembert ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation du second degré ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; racines n-ièmes de l'unité. # Trigonométrie Applications sinus et cosinus ; applications tangente et cotangente ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation.
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      * Lois de compositions Définition, parties stables, commutativité, associativité, distributivité ; éléments remarquables (neutre, symétrique d'un élément, élements simplifiables) ; morphismes, isomorphismes, isomorphisme réciproque ; propriétés "transportées" par un morphisme surjectif ; monoïde. * Stucture de groupe Définition ; groupe produit ; exemples divers de groupes ; dans un groupe les appns x->ax et x->xa sont bijectives ; table d'un groupe fini ; théorème de Lagrange. * Sous-groupes Définition ; caractérisations pour qu'une partie d'un groupe en soit un sous-groupe ; exemples ; les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ ; intersections quelconques de sous-groupes ; morphismes de groupe ; image (directe ou réciproque) d'un sous-groupe ; image ou noyau d'un morphisme de groupe ; caractérisation de l'injectivité par le noyau. * Groupes monogènes Sous-groupe engendré par un élément (ou une partie) ; ordre d'un élément dans un groupe ; groupes monogènes, groupes cycliques (générateurs.) ; eExemple du groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité ; exemple des groupes (Z/nZ,+) * Le groupe symétrique Groupe des permutations de {1,2,...,n} ; cycles, transpositions ; décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints deux à deux ; décomposition d'une permutation en produit de transpositions ; inversions, signature ; parité d'une permutation ; groupe alterné.
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      # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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      Exercices d'application
      Sur l'équation Diophantienne
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes
      Sous-groupes de R
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
      Niveau de difficulté : 
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      On se propose ici d'établir les fondements de l'arithmétique (divisibilité, pgcd et ppcm) dans les anneaux intègres puis dans les anneaux factoriels. On commence par une étude de l'anneau des entiers de Gauss. Un problème assez dense, recommandé à ceux qui aiment les structures algébriques.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème très complet (donc assez long) on se propose d'étudier les propriétés des homographies du plan complexe (complété par un point à l'infini). Le problème est en dix parties: (I) Le groupe des homographies. (II) Conservation des cercles ou droites par z->1/z. (III) idem avec une homographie quelconque. (IV) Homographies et conservation des angles (par la géométrie différentielle). (V) Homographies et conservation de l'orthogonalité (par une méthode purement algébrique). (VI) Action des homographies sur les disques et les demi-plans. (VII) Points fixes et birapport. (VIII) Conjugaison des homographies. (IX) Puissances d'homographies. (X) Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème, on établit le résultat qui permet de décrire, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens finis. Un tel groupe est en effet isomorphe, de façon unique, à un groupe produit H1xH2x...xHn, où chaque Hk est un groupe cyclique d'ordre dk, chacun des entiers dk divisant l'entier suivant d(k+1).
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude de certaines fonctions arithmétiques classiques: la fonction "nombre des diviseurs", la fonction "somme des diviseurs", la fonction de Moebius et l'indicateur d'Euler. On y étudie également le produit de Dirichlet sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, ainsi que quelques situations classiques (notamment la caractérisation des entiers parfaits pairs.) On termine par quelques propriétés asymptotiques (notamment sur les moyennes de certaines fonctions arithmétiques.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Intégrales doubles ou triples - 5 documents
  • Intégration sur un intervalle quelconque - 17 documents
  • Intégration sur un segment, primitives - 20 documents
    • Formulaire
      Formulaire Intégration sur un segment
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      Cours
      Partie I : Dérivabilité d’une fonction vectorielle Partie II : Applications de classe Ck Partie III : Intégrale des fonctions continues par morceaux Partie IV : Primitives et intégrales Partie V : Accroissements finis et formules de Taylor Partie VI : Intégrales dépendant d’un paramètre
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      III.1 Fonctions en escaliers III.2 Intégrale des fonctions en escaliers III.3 Définition de l’intégrale des fonctions continues par morceaux III.4 Propriétés de l’intégrale des fonctions continues par morceaux III.5 Positivité et croissance de l’intégrale pour les fonctions réelles III.6 Extension de la définition et notation définitive III.7 Inégalité de Cauchy-Schwarz
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      IV.1 Primitives IV.2 Le théorème fondamental IV.3 Calcul des intégrales IV.4 Le théorème du relèvement
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      Continuité sous le signe d’intégration, Dérivation sous le signe d’intégration, Interversion de deux signes d’intégration
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      * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      * Intégrale des fonctions continues par morceaux Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation. * Calcul approché des intégrales Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes. * Primitives et intégrale d'une fonction continue Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles. * Fonctions à valeurs complexes Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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      Exercices d'application
      Sommes de Riemann II, 5 exercices
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      Sommes de Riemann I, 5 exercices corrigés
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      Problèmes
      Ce problème propose le calcul d’intégrales sur [0,+infini[, notamment la fameuse intégrale de f(x)=sin(x)/x. Mais on va bien au-delà, avec les intégrales de |f(x)| et de f(x)^n.
      Niveau de difficulté : 
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      Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
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      Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin". A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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      Un problème très complet sur le thème des suites de polynômes orthogonaux. Après une première partie qui expose les propiétés classiques de telles suites, on étudie plus particulièrement le cas des polynômes de Legendre. Un problème qu’il faut absolument avoir fait, tellement les questions posées ici irriguent nombre d’épreuves de concours!
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      Un problème ultra-classique, qui a l’avantage de porter sur de nombreuses techniques d’analyse du programme de seconde année. A faire absolument dans votre préparation aux écrits.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème technique qui constitue un très bon entraînement au calcul intégral. On y étudie des fonctions définies par des intégrales, et les résultats conduisent aux calculs de certaines séries classiques. La dernière partie propose une accélération de convergence, le but étant finalement d’obtenir une bonne approximation de Pi^2. Finalement un problème d’analyse très complet.
      Niveau de difficulté : 
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      On connait la formule de Stirling, qui donne un équivalent de n! (factorielle de n) quand n tend vers l’infini. En fait cet équivalent n’est que le premier terme d’un développement asymptotique. On verra ici comment démontrer la formule de Stirling, et même comment obtenir le deuxième terme de ce développement.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
      Niveau de difficulté : 
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  • Limites et continuité des fonctions numériques - 7 documents
    • Formulaire
      Formulaire Uniforme Continuité
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      Formulaire Limites et Continuité
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      Cours
      * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      * Limites des fonctions numériques Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées. * Comparaisons locales Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles. * Développements limités notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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      * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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      * Continuité Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes. * Dérivabilité d'une fonction numérique Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point. * Dérivabilité sur un intervalle Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables. * Applications de classe Ck Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor. * Applications convexes Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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      Exercices d'application
  • Nombres complexes, trigonométrie - 15 documents
    • Formulaire
      Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
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      Formulaire Nombres complexes
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      Cours
      # Le corps des nombres complexes Définition de C ; notation cartésienne ; conjugaison ; module ; fonctions à valeurs complexes ; le plan complexe. # Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) ; formules de Moivre et d'Euler ; forme trigonométrique ; fonction exponentielle complexe. # Equations polynômiales dans C Théorème de d'Alembert ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation du second degré ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; racines n-ièmes de l'unité. # Trigonométrie Applications sinus et cosinus ; applications tangente et cotangente ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation.
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      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème solide et instructif, où on voit calculer (de trois manières différentes) le déterminant d'une matrice dépendant d'un paramètre. On y voit aussi comment calculer le rang et le noyau de cette matrice. En filigrane, il s'agit aussi de calculer les valeurs et vecteurs propres d'une matrice antisymétrique.
      Niveau de difficulté : 
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      On se propose ici d'établir les fondements de l'arithmétique (divisibilité, pgcd et ppcm) dans les anneaux intègres puis dans les anneaux factoriels. On commence par une étude de l'anneau des entiers de Gauss. Un problème assez dense, recommandé à ceux qui aiment les structures algébriques.
      Niveau de difficulté : 
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      On ne peut que conseiller ce problème très technique, qui expose en détail le thème classique des produits infinis et qui après avoir présenté la théorie et les propriétés de ces produits se termine par le développement "Eulérien" de sin(t)/t.
      Niveau de difficulté : 
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      Gauss, alors agé de 19 ans, découvrit le 30 Mars 1796 que l'heptadécagone (polygone régulier convexe à 17 cotés) était constructible à la règle et au compas. Dans ce problème, on voit la construction proposée par Richmond en 1893. Pour se faire la main, on commence par la construction du pentagone régulier. Pour en arriver là, il faut passer par un peu de trigonométrie, et donner en particulier une expression de cos(2p/5) et cos(2p/17) à l'aide de radicaux.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème très complet (donc assez long) on se propose d'étudier les propriétés des homographies du plan complexe (complété par un point à l'infini). Le problème est en dix parties: (I) Le groupe des homographies. (II) Conservation des cercles ou droites par z->1/z. (III) idem avec une homographie quelconque. (IV) Homographies et conservation des angles (par la géométrie différentielle). (V) Homographies et conservation de l'orthogonalité (par une méthode purement algébrique). (VI) Action des homographies sur les disques et les demi-plans. (VII) Points fixes et birapport. (VIII) Conjugaison des homographies. (IX) Puissances d'homographies. (X) Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné.
      Niveau de difficulté : 
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      Tout, tout, vous saurez tout (ou presque) sur les polynômes cyclotomiques. Le problème est divisé en huit parties. La première expose quelques propriétés, utiles pour la suite, des poynômes à coefficients entiers. La seconde est consacrée aux racines primitives n-ièmes de l'unité (plus généralement, on y trouve quelques propriétés classiques des groupes cycliques). Dans la troisième partie, on voit réapparaître l'indicateur d'Euler et la fonction de Mobius (qui figuraient déjà dans le DS n°4.) La partie IV introduit les polynômes cyclotomiques, et en donne les premières propriétés. La partie V donne des méthodes pratiques de calcul de ces polynômes. Dans la partie VI, on découvre quelques propriétés de leurs coefficients. Les parties VII et VIII démontrent l'irréductibilité du polynôme cyclotomique d'indice n, d'abord quand n est premier (avec le critère d'Eisenstein) ensuite dans le cas général.
      Niveau de difficulté : 
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  • Nombres réels - 6 documents
    • Cours
      * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
      DOCUMENT  
      # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Problèmes
      Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
      Niveau de difficulté : 
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      Gauss, alors agé de 19 ans, découvrit le 30 Mars 1796 que l'heptadécagone (polygone régulier convexe à 17 cotés) était constructible à la règle et au compas. Dans ce problème, on voit la construction proposée par Richmond en 1893. Pour se faire la main, on commence par la construction du pentagone régulier. Pour en arriver là, il faut passer par un peu de trigonométrie, et donner en particulier une expression de cos(2p/5) et cos(2p/17) à l'aide de radicaux.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème consacré au nombre d'or Phi. Dans une première partie (facile) on étudie deux suites convergeant vers Phi. La deuxième partie est consacrée aux rapports entre le nombre Phi et la suite de Fibonacci. Dans la troisième partie on démontre que les deux ensembles formés des parties entières des n*Phi d'une part et des parties entières des n*Phi^2 d'autre part (avec n dans N*) forment une partition de N* (et on voit aussi que cette propriété est caractéristique de Phi.) La dernière partie est une application de ce qui précède à l'étude d'une stratégie gagnante pour le jeu de Whitoff (dont on voit deux versions.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Polynômes et fractions rationnelles - 8 documents
    • Formulaire
      Formulaire Polynômes
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      Cours
      # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Problèmes
      Un problème archi-classique et plutôt facile, où on introduit la famille des polynômes de Chebyshev, et où on prouve que ces polynômes possèdent une célèbre propriété de minimalité. A ne pas manquer.
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème très complet sur le thème des suites de polynômes orthogonaux. Après une première partie qui expose les propiétés classiques de telles suites, on étudie plus particulièrement le cas des polynômes de Legendre. Un problème qu’il faut absolument avoir fait, tellement les questions posées ici irriguent nombre d’épreuves de concours!
      Niveau de difficulté : 
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      Les polynômes de Bernstein, et leur utilisation dans la démonstration du théorème de Weierstrass (approximation uniforme d’une fonction continue sur un segment par des fonctions polynomiales) est un thème archi-classique: ce problème est donc une étape obligatoire dans votre préparation.
      Niveau de difficulté : 
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      Tout, tout, vous saurez tout (ou presque) sur les polynômes cyclotomiques. Le problème est divisé en huit parties. La première expose quelques propriétés, utiles pour la suite, des poynômes à coefficients entiers. La seconde est consacrée aux racines primitives n-ièmes de l'unité (plus généralement, on y trouve quelques propriétés classiques des groupes cycliques). Dans la troisième partie, on voit réapparaître l'indicateur d'Euler et la fonction de Mobius (qui figuraient déjà dans le DS n°4.) La partie IV introduit les polynômes cyclotomiques, et en donne les premières propriétés. La partie V donne des méthodes pratiques de calcul de ces polynômes. Dans la partie VI, on découvre quelques propriétés de leurs coefficients. Les parties VII et VIII démontrent l'irréductibilité du polynôme cyclotomique d'indice n, d'abord quand n est premier (avec le critère d'Eisenstein) ensuite dans le cas général.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
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      Problèmes de concours
  • Probabilités - 2 documents
  • Réduction des endomorphismes - 21 documents
    • Cours
      Partie I : Valeurs et vecteurs propres Partie II : Polynôme caractéristique Partie III : Endomorphismes et matrices diagonalisables Partie IV : Diagonalisation : pratique et applications Partie V : Trigonalisation
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      I.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme I.2 Endomorphismes stabilisant les sev d’une somme directe I.3 Polynômes d’endomorphismes ou de matrices I.4 Vecteurs et valeurs propres. Définitions I.5 Valeurs propres d’une matrice I.6 Vecteurs et valeurs propres. Propriétés I.7 Automorphismes intérieurs, matrices semblables
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      II.1 Définition et premières propriétés II.2 Polynôme caractéristique et valeurs propres II.3 Polynôme caractéristique et sous-espaces stables
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      III.1 Définitions et premières propriétés III.2 Conditions de diagonalisabilité
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      IV.1 Diagonalisation d’une matrice IV.2 Applications de la diagonalisation
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      Définition. Condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice A soit trigonalisable. Conséquence sur les valeurs propres des puissances de A.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème qui présente une méthode de résolution itérative de systèmes linéaires. On y utilise des techniques de valeurs propres et notamment le rayon spectral: celui-ci permet de caractériser la rapidité avec laquelle la méthode converge vers une solution du système.
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      La notion de rayon spectral (plus grand module des valeurs propres réelles ou complexes d’une matrice) apparaît de façon récurrente dans les problèmes posés aux concours. Ce problème fait le point sur cette notion.
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      Un problème pas très long, mais vraiment technique, et qui explore le thème classique des matrices stochastiques. Puissances de matrices, récurrences, inégalités, valeurs propres, etc.
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      Les quaternions forment le premier exemple historique d’un corps non commutatif (Hamilton.) Ce problème aborde l’étude de structures algébriques (groupes, anneaux, corps), en liaison avec la réduction des matrices (valeurs propres, déterminants, polynômes caractéristiques.)
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      Un problème assez court et plutôt facile. On étudie une famille de matrices M dépendant de deux paramètres. Pour calculer les puissances de M, on utilise deux méthodes distinctes, l’une fondée sur la recherche des valeurs propres de M, l’autre sur une récurrence.
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      Dans ce problème, on s’intéresse aux matrices M qui commutent avec une matrice A donnée. Ces matrices M forment ce qu’on appelle le commutant de A, et l’étude de ce commutant conduit à une discussion sur les valeurs propres de A. Très intéressant et complet. A ne pas manquer!
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      Les polynômes de Chebyshev (encore eux...) sont ici le prétexte pour aborder de nombreux thèmes du programme de seconde année: applications linéaires et valeurs propres, équations différentielles et séries entières, produits scalaires... Vraiment utile dans la préparation des écrits.
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      Le thème des déterminants de Gram est assez classique. Il permet entre autre de calculer la distance d’un point à un sous-espace d’un espace euclidien. Dans ce problème, il est donc question de produit scalaire, de valeurs propres, de projections orthogonales ... et de déterminants. Un bon sujet de révision sur les espaces euclidiens.
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      Le problème est consacré à l’étude des familles de vecteurs d’un espace euclidien qui sont acutangles (resp. obtusangles) c’est-à-dire dont les produits scalaires deux à deux sont tous positifs (resp. négatifs). C eproblème fait suite à celui consacré aux matrices et aux déterminants de Gram.
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      Un problème qui étudie une application linéaire sur des espaces vectoriels de suites u(n) telles que les séries de terme général u(n) ou u(n)^2 soient convergentes. Intéressant et technique. A ne pas manquer.
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      Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
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  • Relations binaires - 2 documents
    • Cours
      Partie I : Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 Partie II : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 1 Partie III : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 2
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      * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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  • Séries de Fourier - 9 documents
  • Séries entières - 11 documents
  • Séries numériques - 23 documents
  • Séries vectorielles - Aucun document
  • Séries, suites doubles sommables - 8 documents
  • Suites numériques - 12 documents
    • Formulaire
      Formulaire Suites
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      Cours
      Développement décimal des nombres réels
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      * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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      Problèmes
      Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
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      Tout le programme de seconde année défile dans ce problème: équations différentielles, séries entières, produit scalaire, calcul intégral, Valeurs et sous-espaces propres: un must!
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      Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
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      Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
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      Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
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      Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin". A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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      Un problème assez technique qui expose un mode différent de convergence d’une série numérique: la convergence au sens d’Abel, qui se situe à la charnière des séries numériques et des séries entières.
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      On connait la formule de Stirling, qui donne un équivalent de n! (factorielle de n) quand n tend vers l’infini. En fait cet équivalent n’est que le premier terme d’un développement asymptotique. On verra ici comment démontrer la formule de Stirling, et même comment obtenir le deuxième terme de ce développement.
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      Un problème consacré au nombre d'or Phi. Dans une première partie (facile) on étudie deux suites convergeant vers Phi. La deuxième partie est consacrée aux rapports entre le nombre Phi et la suite de Fibonacci. Dans la troisième partie on démontre que les deux ensembles formés des parties entières des n*Phi d'une part et des parties entières des n*Phi^2 d'autre part (avec n dans N*) forment une partition de N* (et on voit aussi que cette propriété est caractéristique de Phi.) La dernière partie est une application de ce qui précède à l'étude d'une stratégie gagnante pour le jeu de Whitoff (dont on voit deux versions.)
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  • Suites ou séries de fonctions - 15 documents
  • Surfaces - 2 documents
  • Surfaces et Quadriques - 5 documents
  • Variables aléatoires discrètes - 18 documents
    • La recherche de la loi d'une variable aléatoire faisant appel à des raisonnements combinatoires et/ou probabilistes, il est donc important, avant d'aborder ce chapitre, de parfaitement maîtriser les chapitres « Dénombrement » et « Probabilités classiques ».
      Par ailleurs, une bonne maîtrise du cours sur les séries est requise pour les calculs d'espérance et de variance. NB: la loi hypergéométrique n'est pas au programme de sup-spé.
      Formulaire
      Formulaire Variables et Vecteurs aléatoires
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      Cours
      Déterminer la loi d'une variable aléatoire, son espérance, sa variance
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