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Mathématiques
375 documents en Spé MP
  • Annales corrigées - 7 documents
  • Applications - 5 documents
    • Problèmes Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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      Cours * Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
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  • Arithmétique des entiers - 7 documents
    • Problèmes Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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  • Calcul matriciel, systèmes linéaires, déterminants - 24 documents
    • Cours * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      Cours * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      Cours # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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  • Courbes de l'espace - 1 document
  • Courbes et arcs paramétrés du plan - 4 documents
    • Cours * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      Cours * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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      Cours Partie I : Nappes paramétrées, propriétés affines Partie II : Arcs paramétrés, propriétés métriques
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  • Dérivation, convexité - 19 documents
    • Problèmes Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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  • Entiers naturels - 6 documents
    • Problèmes Ce problème étudie les antichaînes d'un ensemble fini E (c'est-à-dire les familles de parties de E dont aucune n'est incluse dans une autre). On démontre en particulier le théorème de Sperner sur le cardinal maximum d'une antichaîne d'un ensemble E de cardinal n.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
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  • Équations différentielles linéaires - 12 documents
    • Problèmes Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      Exercices d'application
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  • Equations différentielles non linéaires - Aucun document
  • Espaces préhilbertiens complexe, espaces hermitiens - 9 documents
  • Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens - 18 documents
    • Cours * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      Exercices d'application (5 exercices)
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      Exercices d'application
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  • Espaces vectoriels de dimension finie - 9 documents
    • Cours * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      Cours * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      Cours * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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  • Espaces vectoriels et applications linéaires - 7 documents
    • Cours * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      Cours * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      Cours * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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  • Espaces vectoriels normés - 17 documents
  • Fonctions de deux ou trois variables - 8 documents
    • Cours # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Problèmes Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
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      Exercices d'application
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  • Fonctions de p variables (p > 2) - 10 documents
  • Fonctions usuelles - 7 documents
    • Cours * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      Cours * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      Cours * Continuité Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes. * Dérivabilité d'une fonction numérique Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point. * Dérivabilité sur un intervalle Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables. * Applications de classe Ck Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor. * Applications convexes Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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  • Fonctions vectorielles (dérivation et intégration) - 10 documents
  • Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques - Aucun document
  • Géométrie affine - 4 documents
    • Cours * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      Cours # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      Exercices d'application
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  • Géométrie euclidienne - 5 documents
    • Problèmes Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      Cours * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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  • Groupes et actions de groupe - 3 documents
  • Groupes, anneaux, corps - 13 documents
    • Problèmes Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
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      Cours * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      Cours # Le corps des nombres complexes Définition de C ; notation cartésienne ; conjugaison ; module ; fonctions à valeurs complexes ; le plan complexe. # Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) ; formules de Moivre et d'Euler ; forme trigonométrique ; fonction exponentielle complexe. # Equations polynômiales dans C Théorème de d'Alembert ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation du second degré ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; racines n-ièmes de l'unité. # Trigonométrie Applications sinus et cosinus ; applications tangente et cotangente ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation.
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  • Intégrales doubles ou triples - 5 documents
    • Cours Partie I : Intégrales doubles ou triples Partie II : Centres et moments d’inertie Partie III : Intégrales curvilignes Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
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      Problèmes Un problème assez court et plutôt facile, où on étudie les propriétés d’une fonction f de deux variables, avant de définir une application linéaire sous forme d’une intégrale utilisant f. Le problème se termine avec l’étude d’une série de Fourier...
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      Problèmes On connait (en général, car elle n’est pas au programme!) la méthode de Simson, qui permet d’approcher une intégrale sur un segment. On verra dans ce problème court et facile comment cette méthode se généralise aux intégrales doubles.
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  • Intégration sur un intervalle quelconque - 17 documents
    • Problèmes Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes La transformée de Laplace est un outil mathématique très utilisé par les physiciens, et en sciences de l'ingénieur. On propose ici une introduction à cette théorie: le problème est long, technique, mais les questions sont progressives et détaillées. Il est ici volontairement traité avec les outils disponibles en MPSI.
      Niveau de difficulté : 
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  • Intégration sur un segment, primitives - 17 documents
    • Problèmes Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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  • Limites et continuité des fonctions numériques - 5 documents
    • Cours * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      Cours * Limites des fonctions numériques Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées. * Comparaisons locales Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles. * Développements limités notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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      Cours * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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  • Nombres complexes, trigonométrie - 13 documents
    • Problèmes Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
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      Problèmes Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
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      Problèmes Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
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  • Nombres réels - 6 documents
    • Problèmes Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
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      Cours * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      Cours * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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  • Polynômes et fractions rationnelles - 7 documents
    • Cours # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Problèmes de concours
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      Problèmes Tout, tout, vous saurez tout (ou presque) sur les polynômes cyclotomiques. Le problème est divisé en huit parties. La première expose quelques propriétés, utiles pour la suite, des poynômes à coefficients entiers. La seconde est consacrée aux racines primitives n-ièmes de l'unité (plus généralement, on y trouve quelques propriétés classiques des groupes cycliques). Dans la troisième partie, on voit réapparaître l'indicateur d'Euler et la fonction de Mobius (qui figuraient déjà dans le DS n°4.) La partie IV introduit les polynômes cyclotomiques, et en donne les premières propriétés. La partie V donne des méthodes pratiques de calcul de ces polynômes. Dans la partie VI, on découvre quelques propriétés de leurs coefficients. Les parties VII et VIII démontrent l'irréductibilité du polynôme cyclotomique d'indice n, d'abord quand n est premier (avec le critère d'Eisenstein) ensuite dans le cas général.
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  • Réduction des endomorphismes - 21 documents
    • Problèmes Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
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      Exercices d'application
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      Exercices d'application
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  • Relations binaires - 2 documents
    • Cours * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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      Cours Partie I : Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 Partie II : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 1 Partie III : "Equa diffs" linéaires scalaires d’ordre 2
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  • Séries de Fourier - 9 documents
  • Séries de nombres réels ou complexes - 18 documents
  • Séries entières - 10 documents
  • Séries vectorielles - Aucun document
  • Séries, suites doubles sommables - 8 documents
  • Suites numériques - 10 documents
    • Problèmes Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
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      Problèmes Ce problème propose une démonstration du célèbre postulat de Bertrand: pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un entier premier p strictement compris entre n et 2n.
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      Problèmes Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
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  • Suites ou séries de fonctions - 15 documents
  • Surfaces - 2 documents
  • Surfaces et Quadriques - 5 documents

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