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423 documents en Spé PSI
16. Probabilités classiques - 15 documents
Petit problème de probabilités
Exercices d'application
Probabilités, petit problème
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Fiche de cours : Probabilités classiques
Cours
Fiche de cours complète sur les probabilités.
ATTENTION, la formule de Poincaré dans le cas général ainsi que la distribution hypergéométrique ne sont pas au programme en Classe Prépa ECS et ECE.
DOCUMENT
Suites de tirages dans une urne avec condtion d'arrêt
Exercices d'application
Les étudiants n'ayant pas traité les variables aléatoires ne traiteront pas la question 3.
Chapitres abordés : Suites, Probabilités, Variables aléatoires discrètes
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
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Annales corrigées - 10 documents
Problème "petites Mines" 3
Problèmes de concours
Problème "petites Mines" 3
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Problème "petites Mines" 2
Problèmes de concours
Problème "petites Mines" 2
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Problème "petites Mines" 1
Problèmes de concours
Problème "petites Mines" 1
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Tous les documents
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Applications - 5 documents
Formulaire Applications linéaires
Formulaire
Formulaire Applications linéaires
DOCUMENT
Homographies du demi-plan de Poincaré
Problèmes
Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Ensembles, applications, relations
Cours
* Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
DOCUMENT
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Calcul matriciel, systèmes linéaires, déterminants - 46 documents
Exercices d'oraux : Algèbre linéaire
Exercices d'application
Exercices d'oraux : Algèbre linéaire
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Problème révisions calcul matriciel
Problèmes de concours
Problème révisions calcul matriciel
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Formulaire Déterminants
Formulaire
Formulaire Déterminants
DOCUMENT
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Courbes de l'espace - 1 document
Courbes et surfaces, Partie II : Arcs paramétrés, propriétés métriques
Cours
II.1 Rectification d’un arc paramétré II.2 Abscisse curviligne II.3 Formules de Frenet pour un arc plan
DOCUMENT
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Courbes et arcs paramétrés du plan - 4 documents
Courbes du plan
Cours
* Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
DOCUMENT
Géométrie différentielle des arcs du plan
Cours
* Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
DOCUMENT
Courbes et surfaces
Cours
Partie I : Nappes paramétrées, propriétés affines Partie II : Arcs paramétrés, propriétés métriques
DOCUMENT
Tous les documents
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Dénombrement - 2 documents
Le chapitre « Dénombrement » n'est que rarement l'objet de questions de concours en tant que telles. Cependant, il est assez fréquent (voire systématique) [...]
16. Exercice 3 : Trois exercices de probabilités avec du Dénombrement
Exercices d'application
Les exercices peuvent être traités comme exercices de dénombrement.
Attention, l'exercice 3 utilise une notation hors programme en ECE. Le nombre de cas favorables doit être calculé en détail.
Chapitres abordés : Dénombrement, Probabilités
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Partition et involution
Problèmes
Ce problème de révision de dénombrements fait le tour des raisonnements classiques, incontournables pour les concours : relation de récurrence entre cardinaux d’ensembles, partitions d’ensembles, raisonnement par récurrence, lien avec les applications. Les raisonnements présentés ici doivent être parfaitement maîtrisés.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
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Dérivation, convexité - 20 documents
Formulaire Décidabilité Convexité
Formulaire
Formulaire Décidabilité Convexité
DOCUMENT
Quatre problèmes sur les équations différentielles linéaires
Problèmes
Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Une amélioration de la méthode du point-moyen
Problèmes
Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
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Entiers naturels - 4 documents
Nombres de Catalan
Problèmes
Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Inégalités Chebyshev et applications
Problèmes
Ce problème traite de la fonction Pi(x) comptant le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à un réel x positif. On y obtient notamment un encadrement de Pi(x)/x (inégalités de Chebyshev) et on en tire des conséquence sur la série des inverses des entiers premiers, ainsi qu'un encadrement du n-ème entier premier.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Entiers naturels, récurrence, ensembles finis, dénombrements
Cours
* Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
DOCUMENT
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Équations différentielles linéaires - 12 documents
Sur le problème aux limites
Problèmes
Sur le problème aux limites
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Quatre problèmes sur les équations différentielles linéaires
Problèmes
Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Équations différentielles linéaires d'ordre 1 ou 2
Cours
# Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
DOCUMENT
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Espaces préhilbertiens complexe, espaces hermitiens - 1 document
Espaces préhilbertiens et euclidiens
Cours
Partie I : Produit scalaire Partie II : Orthogonalité Partie III : Endomorphismes symétriques ou orthogonaux
DOCUMENT
Tous les documents
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Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens - 19 documents
Espaces euclidiens et préhilbertiens
Exercices de concours
Les exercices qui suivent sont extraits des oraux des concours Mines-Ponts et Centrale des filières MP, PC et PSI. Leur validité en terme de niveau a été scrupuleusement vérifiée. Les énoncés ont pu être légèrement modifiés pour en augmenter un peu la difficulté ou pour donner une vision plus large au sujet traité.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Produit scalaire, espaces euclidiens
Cours
* Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
DOCUMENT
Matrices symétriques ou orthogonales (I)
Exercices d'application
(5 exercices)
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Tous les documents
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Espaces vectoriels de dimension finie - 11 documents
Formulaire Espaces vectoriels
Formulaire
Formulaire Espaces vectoriels
DOCUMENT
Espaces vectoriels, algèbres, sous-espaces vectoriels
Cours
* Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
DOCUMENT
Calcul matriciel, systèmes linéaires
Cours
* Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
DOCUMENT
Tous les documents
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Espaces vectoriels et applications linéaires - 10 documents
Formulaire Applications linéaires
Formulaire
Formulaire Applications linéaires
DOCUMENT
Espaces vectoriels, algèbres, sous-espaces vectoriels
Cours
* Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
DOCUMENT
Calcul matriciel, systèmes linéaires
Cours
* Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
DOCUMENT
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Espaces vectoriels normés - 16 documents
Suites et séries de fonctions, Partie II : Propriétés des suites de fonctions convergentes
Cours
Convergence des suites de fonctions à valeurs complexes. Limites et convergence uniforme. Continuité et convergence uniforme. Convergence uniforme et intégration. Convergence uniforme et dérivation.
DOCUMENT
Espaces vectoriels normés, I (5 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Espaces vectoriels normés, II (4 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Tous les documents
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Fonctions de deux ou trois variables - 8 documents
Fonctions de deux (ou trois) variables
Cours
# Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
DOCUMENT
Un opérateur de dérivation partielle
Problèmes
Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Fonctions de plusieurs variables, I (7 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Tous les documents
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Fonctions de p variables (p > 2) - 10 documents
Fonctions de plusieurs variables, I (7 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Fonctions de plusieurs variables, II (8 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Fonctions de plusieurs variables
Cours
Partie I : Applications continûment différentiables Partie II : Opérations sur les applications de classe C1 Partie III : Difféomorphismes et changements de variables Partie IV : Applications de classe Ck Partie V : Extremums locaux Partie VI : Fonctions implicites Partie VII : Formes différentielles
DOCUMENT
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Fonctions usuelles - 9 documents
Fonctions de variables réelles
Exercices de concours
Le sujet traité ici est l'étude générale des fonctions d'une variable réelle. Il s'agit d'exercices sur les fonctions continues, dérivables, de classe Cn et même sur l'intégration de base sur un segment.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Formulaire Fonctions usuelles
Formulaire
Formulaire Fonctions usuelles
DOCUMENT
Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
Formulaire
Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
DOCUMENT
Tous les documents
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Fonctions vectorielles (dérivation et intégration) - 10 documents
Dérivation et intégration, I (5 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Dérivation et intégration, II (5 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
Dérivation et intégration, III (7 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
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Géométrie affine - 4 documents
Géométrie du plan
Cours
* Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
DOCUMENT
Géométrie affine en dimension 3
Cours
# Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
DOCUMENT
Géométrie affine (I) (5 exercices)
Exercices d'application
DOCUMENT
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Géométrie euclidienne - 5 documents
Le théorème de Morley
Problèmes
Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Géométrie du plan
Cours
* Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
DOCUMENT
Produit scalaire, espaces euclidiens
Cours
* Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
DOCUMENT
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Groupes, anneaux, corps - 10 documents
Formulaire Structures algébriques simples
Formulaire
Formulaire Structures algébriques simples
DOCUMENT
Sur l'équation Diophantienne
Exercices d'application
Sur l'équation Diophantienne
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Sous-groupes de R
Problèmes
Sous-groupes de R
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Tous les documents
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Intégrales doubles ou triples - 5 documents
Compléments de calcul intégral
Cours
Partie I : Intégrales doubles ou triples Partie II : Centres et moments d’inertie Partie III : Intégrales curvilignes Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
DOCUMENT
Intégrales doubles et séries de Fourier
Problèmes
Un problème assez court et plutôt facile, où on étudie les propriétés d’une fonction f de deux variables, avant de définir une application linéaire sous forme d’une intégrale utilisant f. Le problème se termine avec l’étude d’une série de Fourier...
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Méthode de Simson pour les intégrales doubles
Problèmes
On connait (en général, car elle n’est pas au programme!) la méthode de Simson, qui permet d’approcher une intégrale sur un segment. On verra dans ce problème court et facile comment cette méthode se généralise aux intégrales doubles.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
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Intégration sur un intervalle quelconque - 19 documents
Exercices d'oraux : Intégration
Exercices d'application
Tous les exercices portent sur le sujet de l'intégration. Ils ont été disposés dans une progression logique des connaissances à acquérir sur le sujets : intégration sur un segment, intégrales convergentes sur un intervalle quelconque, intégrabilité puis suites et séries de fonctions intégrables pour terminer sur les intégrales à paramètres réels (continuité, classe Ck).
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Problème de révision du programme d'analyse
Problèmes
Ce problème d'analyse traite un large spectre de notions communes aux programmes actuels des filières MP, PC et PSI. Il constitue donc un très bon entraînement pour toutes ces flières en vue des concours, notamment pour l'actuel concours CCP voire un peu plus élevé.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
Intégrale de (sin x/x)^n sur R+
Problèmes
Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
Niveau de difficulté :
DOCUMENT
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Intégration sur un segment, primitives - 22 documents
Approximation d'une intégrale
Problèmes de concours
Le problème traite de l'approximation d'une intégrale d'une fonction continue sur un segment par la méthode des rectangles. La première partie envisage le calcul explicite des approximations fournies par la méthodes des rectangles, à travers des fonctions Python. Elle se termine par la preuve que les quantités Tn convergent bien vers l'intégrale de f. La deuxième partie introduit les polynômes de Bernoulli fort utiles pour obtenir une formule d'intégration par parties successives. Cette formule permet entre autre de donner un développement asymptotique de Tn, qui précise la vitesse de convergence de Tn vers l'intégrale considérée.
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Exercices d'oraux : Intégration
Exercices d'application
Tous les exercices portent sur le sujet de l'intégration. Ils ont été disposés dans une progression logique des connaissances à acquérir sur le sujets : intégration sur un segment, intégrales convergentes sur un intervalle quelconque, intégrabilité puis suites et séries de fonctions intégrables pour terminer sur les intégrales à paramètres réels (continuité, classe Ck).
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Formulaire Intégration sur un segment
Formulaire
Formulaire Intégration sur un segment
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Nombres complexes, trigonométrie - 14 documents
Exercices d'oraux : Complexes et Polynômes
Exercices d'application
Les exercices qui suivent sont essentiellement extraits des oraux des concours Centrale et Mines-Ponts des filières MP,PC et PSI. Leur niveau et leur exactitude ont été scrupuleusement vérifiés. Le cas échéant, les énoncés ont pu être légèrement modifiés pour en relever le niveau ou en donner une vision plus générale.
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Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
Formulaire
Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
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Formulaire Nombres complexes
Formulaire
Formulaire Nombres complexes
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Nombres réels - 6 documents
Trajectoire d'une boule dans un billard circulaire
Problèmes
Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
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Nombres réels, nombres rationnels
Cours
* Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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Suites numériques
Cours
* Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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Polynômes et fractions rationnelles - 9 documents
Exercices d'oraux : Complexes et Polynômes
Exercices d'application
Les exercices qui suivent sont essentiellement extraits des oraux des concours Centrale et Mines-Ponts des filières MP,PC et PSI. Leur niveau et leur exactitude ont été scrupuleusement vérifiés. Le cas échéant, les énoncés ont pu être légèrement modifiés pour en relever le niveau ou en donner une vision plus générale.
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Problème d'annale Mines-Pont : Algèbre
Problèmes de concours
Le but du problème est de déterminer les polynômes d'un certain degré qui minimisent une somme de carrés.
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Formulaire Polynômes
Formulaire
Formulaire Polynômes
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Probabilités - 2 documents
Formulaire Probabilités sur un univers fini
Formulaire
Formulaire Probabilités sur un univers fini
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Petit problème de probabilités
Exercices d'application
Probabilités, petit problème
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Réduction des endomorphismes - 23 documents
Exercices d'oraux : Réduction des endomorphismes
Exercices d'application
Les exercices qui suivent sont extraits des oraux des concours Mines-Télécom, Mines-Ponts, Centrale et ENSEA pour les filières MP, PC et PSI. Leurs validité a été scrupuleusement vérifiée quant à leur niveau. Ils ont quelques fois étaient complétés ou modifiés pour donner une vision plus large sur le sujet traité et même accroître un peu le niveau de préparation. Ces exercices sont présentés dans l'ordre progressif des concours visés.
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Crochet d'endomorphismes et de matrices
Problèmes de concours
Le problème qui suit est un ancien sujet du concours de l'ENSAI, année 2002, pour la filière MP. Il s'agit en fait de l'épreuve d'algèbre. L'objectif du problème est l'étude du crochet d'endomorphismes et de matrices. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude des groupes et algèbres de Lie (que l'on étudie à un niveau plus élevé).
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Un opérateur de dérivation partielle
Problèmes
Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
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Relations binaires - 1 document
Ensembles, applications, relations
Cours
* Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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Séries de Fourier - 9 documents
Séries de Fourier (I) (5 exercices)
Exercices d'application
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Séries de Fourier (II) (5 exercices)
Exercices d'application
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Intégrales doubles et séries de Fourier
Problèmes
Un problème assez court et plutôt facile, où on étudie les propriétés d’une fonction f de deux variables, avant de définir une application linéaire sous forme d’une intégrale utilisant f. Le problème se termine avec l’étude d’une série de Fourier...
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Séries entières - 13 documents
Exercices d'oraux : Séries entières
Exercices d'application
Tous les exercices portent sur le sujet des séries entières, sujet très largement diffusé dans les problèmes d'écrits et les exercices d'oraux. Certains exercices peuvent toucher d'autres parties du programme (intégration terme à terme souvent, équations différentielles ou fonctionnelles également).
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Problème de révision du programme d'analyse
Problèmes
Ce problème d'analyse traite un large spectre de notions communes aux programmes actuels des filières MP, PC et PSI. Il constitue donc un très bon entraînement pour toutes ces flières en vue des concours, notamment pour l'actuel concours CCP voire un peu plus élevé.
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Autour de la fonction tangente
Problèmes
Le développement en série entière de tangente ; une fonction génératrice ; une adaptation à th
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Séries numériques - 7 documents
Annale ESIGETEL 2000
Problèmes de concours
Le problème traite la quasi-totalité des notions d'analyse du programme (suites et séries de fonctions, séries entières, intégrale à paramètres, suites et séries d'intégrales...). Il constitue donc un excellent entraînement pour les parties d'analyse des problèmes de concours actuels.
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Exercices d'oraux : Suites et séries
Exercices d'application
Exercices d'oraux : Suites et séries
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Séries à termes quelconques
Exercices d'application
Séries à termes quelconques
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Suites numériques - 15 documents
Annale ESIGETEL 2000
Problèmes de concours
Le problème traite la quasi-totalité des notions d'analyse du programme (suites et séries de fonctions, séries entières, intégrale à paramètres, suites et séries d'intégrales...). Il constitue donc un excellent entraînement pour les parties d'analyse des problèmes de concours actuels.
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Problème de révision du programme d'analyse
Problèmes
Ce problème d'analyse traite un large spectre de notions communes aux programmes actuels des filières MP, PC et PSI. Il constitue donc un très bon entraînement pour toutes ces flières en vue des concours, notamment pour l'actuel concours CCP voire un peu plus élevé.
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Exercices d'oraux : Suites et séries
Exercices d'application
Exercices d'oraux : Suites et séries
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Suites ou séries de fonctions - 17 documents
Annale ESIGETEL 2000
Problèmes de concours
Le problème traite la quasi-totalité des notions d'analyse du programme (suites et séries de fonctions, séries entières, intégrale à paramètres, suites et séries d'intégrales...). Il constitue donc un excellent entraînement pour les parties d'analyse des problèmes de concours actuels.
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Exercices d'oraux : Suites et séries de fonctions
Exercices d'application
Exercices d'oraux : Suites et séries de fonctions
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Suites et séries de fonctions, Partie II : Propriétés des suites de fonctions convergentes
Cours
Convergence des suites de fonctions à valeurs complexes. Limites et convergence uniforme. Continuité et convergence uniforme. Convergence uniforme et intégration. Convergence uniforme et dérivation.
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Surfaces - 2 documents
Courbes et surfaces
Cours
Partie I : Nappes paramétrées, propriétés affines Partie II : Arcs paramétrés, propriétés métriques
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Courbes et surfaces, Partie I : Nappes paramétrées. propriétés affines
Cours
Nappes paramétrées, Point régulier, Notion de surface, paramétrage local d’une surface, Plan tangent en un point régulier, Intersection de deux surfaces...
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Surfaces et Quadriques - 5 documents
Plans tangents a une surface ; Surfaces usuelles ; Quadriques et Exemples.
Surfaces et Quadriques : Partie 1
Cours
Plans tangents a une surface.
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Surfaces et Quadriques : Partie 2
Cours
Surfaces usuelles
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Surfaces et Quadriques : Partie 3
Cours
Quadriques
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Variables aléatoires discrètes - 17 documents
La recherche de la loi d'une variable aléatoire faisant appel à des raisonnements combinatoires et/ou probabilistes, il est donc important, avant d'aborder [...]
Formulaire Variables et Vecteurs aléatoires
Formulaire
Formulaire Variables et Vecteurs aléatoires
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Oral variables discrètes (ex.106) : tirage successifs avec remise
Exercices d'application
On étudie des tirages successifs d'une boule dans une urne, avec remise. On s'intéresse en particulier à l'espérance d'une v.a. à valeurs dans N.
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Variables aléatoires discrètes : fiche synthèse
Cours
Résumé de cours
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Vecteurs aléatoires discrets - 5 documents
Il est rare d'étudier une variable aléatoire seule : en général on rencontre plutôt une famille de variables aléatoires, indépendantes ou non. Dans ce [...]
Formulaire Variables et Vecteurs aléatoires
Formulaire
Formulaire Variables et Vecteurs aléatoires
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Vecteurs aléatoires discrets : fiche synthèse
Cours
Résumé de cours
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Vecteurs aléatoires
Cours
Tout le cours sur les vecteurs aléatoires discrets
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PROGRAMME DE RÉVISION
Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass
Matrices symétriques ou orthogonales (II) (4 exercices)
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Translatées d’une application
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