Mathématiques
578 documents en Sup PTSI
  • 16. Probabilités classiques - 17 documents
  • Annales corrigées - 11 documents
  • Applications - 11 documents
    • Formulaire
      Formulaire Applications linéaires
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      Cours
      * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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      * Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
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      * Lois de compositions Définition, parties stables, commutativité, associativité, distributivité ; éléments remarquables (neutre, symétrique d'un élément, élements simplifiables) ; morphismes, isomorphismes, isomorphisme réciproque ; propriétés "transportées" par un morphisme surjectif ; monoïde. * Stucture de groupe Définition ; groupe produit ; exemples divers de groupes ; dans un groupe les appns x->ax et x->xa sont bijectives ; table d'un groupe fini ; théorème de Lagrange. * Sous-groupes Définition ; caractérisations pour qu'une partie d'un groupe en soit un sous-groupe ; exemples ; les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ ; intersections quelconques de sous-groupes ; morphismes de groupe ; image (directe ou réciproque) d'un sous-groupe ; image ou noyau d'un morphisme de groupe ; caractérisation de l'injectivité par le noyau. * Groupes monogènes Sous-groupe engendré par un élément (ou une partie) ; ordre d'un élément dans un groupe ; groupes monogènes, groupes cycliques (générateurs.) ; eExemple du groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité ; exemple des groupes (Z/nZ,+) * Le groupe symétrique Groupe des permutations de {1,2,...,n} ; cycles, transpositions ; décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints deux à deux ; décomposition d'une permutation en produit de transpositions ; inversions, signature ; parité d'une permutation ; groupe alterné.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème étudie une bijection classique de N^2 sur N, et généralise cette application de deux manières différentes en des bijections de N^k sur N. Le problème est illustré par des développements Maple très significatifs.
      Niveau de difficulté : 
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      On se propose ici d'étudier la droite qui approche au mieux un nuage de points du plan (en passant en revue plusieurs critères d'approximation différents.) Joli problème, assez technique, qui peut être traité en débute d'année.
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  • Arithmétique des entiers - 7 documents
    • Formulaire
      Formulaire Arithmétique basique
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      Cours
      # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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      Exercices d'application
      Sur l'équation Diophantienne
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes
      Il n'est pas difficile de montrer par exemple que sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5) est irrationnel. On se propose ici de généraliser considérablement ce résultat. Plus précisément, on montre ici que la famille des sqrt(n), où n décrit l'ensemble des produits de facteurs premiers distincts, est une famille libre de R, considéré lui-même comme un espace vectoriel sur le corps Q des rationnels. Ce problème est tout de même un peu difficile, et nécessite quelques rudiments d'arithmétique des nombres premiers.
      Niveau de difficulté : 
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  • Calcul matriciel, systèmes linéaires, déterminants - 34 documents
    • Formulaire
      Formulaire Déterminants
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      Formulaire Systèmes linéaires et Matrices
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      Cours
      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème classique et plutôt facile. Recommandé pour tous! A travers l’étude d’une famille de matrices, on aborde en effet différents thèmes: On découvre une structure d’anneau commutatif. On calcule et on factorise des déterminants d’ordre 3. On mène une discussion sur le rang de ces matrices On recherche les puissances n-ièmes de certaines de ces matrices, par deux méthodes différentes.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici une méthode de résolution itérative approchée, pour les systèmes linéaires à diagonale dominante. C’est classique, et le problème est court et plutôt facile.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans un espace vectoriel de dimension finie, et si p,q sont deux projecteurs, on étudie si [p,q]=poq-qop peut être une combinaison linéaire de p et q.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans une première partie, on étudie une famille de matrices A[k], carrées d’ordre 3 et dépendant de deux paramètres. Cela conduit à l’étude d’une famille de matrices orthogonales (deuxième partie). Un bon problème de révision sur le calcul matriciel.
      Niveau de difficulté : 
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      La décomposition LU des matrices inversibles est un thème très classique, souvent abordé dans les problèmes de concours. Ce thème est ici traité dans le détail. Le problème est assez long et technique. On y utilise abondamment les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices, et des calculs de matrices par blocs. Il vous faudra une bonne motivation, mais ça vaut le coup.
      Niveau de difficulté : 
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      On voit ici comment inverser une matrice carrée A d’ordre n par une succession d’opérations élémentaires sur les lignes. On peut même utiliser ces opérations pour calculer le déterminant de A et pour décomposer A sous la forme "LU". Attention: la dernière question ne peut pas être traitée en PCSI et en PTSI.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème, on définit l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien, avant d'étudier les particularités de l'adjonction. On considère ensuite les propriétés des endomorphismes normaux (c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint), ou symétriques, ou antisymétriques. On termine enfin par l'étude de la réduction dans une base orthonormée de ces différents types d'endomorphismes (et en particulier des endomorphismes orthogonaux, qui sont des endomorphismes normaux particuliers.)
      Niveau de difficulté : 
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      Un petit problème, assez technique mais facile, où il est question de suites arithmético-géométriques de matrices.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème assez court et plutôt facile, on résout un système linéaire tridiagonal symétrique d'ordre n, dépendant d'un paramètre. Il faut d'abord étudier la matrice de ce système, et notamment son déterminant, qui est une fonction polynomiale du paramètre.
      Niveau de difficulté : 
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      Un joli problème de calcul matriciel, inspiré d'un vieux problème de HEC devenu méconnaissable. Les triplets rectangulaires sont les (x, y, z) tels que x²+y² = z², où x, y, z sont des entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble. On étudie dans ce problème les matrices à coefficients entiers qui laissent invariante la forme quadratique x²+y²-z², et qui agissent donc sur les triplets rectangulaires. Il y a plein de calculs qu'on peut éviter si on est malin, et il est beaucoup question de structures de groupe.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes de concours
      Problème révisions calcul matriciel
      Niveau de difficulté : 
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  • Courbes et arcs paramétrés du plan - 6 documents
    • Cours
      * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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      Problèmes
      Un problème très complet (pas vraiment difficile mais relativement long et surtout technique) qui vous permettra de réviser les propriétés affines et métriques des arcs du plan. Le thème en est l’étude d’une famille d’arcs du plan dont la développée est la célèbre astroïde.
      Niveau de difficulté : 
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      La podaire d'un point A relativement à une parabole P est l\'ensemble des projections de A sur les différentes tangentes à P. On étudie ici les différents cas de figure, suivant la position du point A par rapport à P. On étudie également les propriétés communes à ces différentes podaires. Ce problème permet de réviser la géométrie différentielle des courbes du plan (abscisse curviligne, repère de Frenet, rayon de courbure.)
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème propose l'étude d'une famille d'arcs du plan dépendant d'un paramètre a. C'est notamment l'occasion d'effectuer une discussion suivant les valeurs de a pour déterminer les asymptotes, ainsi que le placement des courbes par rapport à celles-ci. On examine également l'existence de points doubles, de points stationnaires, ainsi que la condition pour que trois points d'une même courbe soient alignés (ce qui amène à la recherche des points d'inflexion.)
      Niveau de difficulté : 
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      La cardioïde fait partie des courbes en polaires les plus étudiées. Elle possède en effet de nombreuses propriétés, dont certaines sont étudiées ici. Citons notamment les caractéristiques du triangle formé par les trois points de la cardioïde où la tangente est parallèle à une direction donnée, ou encore la génération d'une cardioïde par roulement sans glissement d'un cercle sur un autre. On étudie également les propriétés différentielles de la cardioïde (abscisse curviligne, longueur, repère de Frenet, lieu du centre de courbure). On calcule certains éléments d'inertie de la courbe (ou de la plaque du plan délimité par elle). On termine en faisant rouler sans glisser une cardioïde sur un arche de cycloïde!
      Niveau de difficulté : 
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  • Dénombrement - 5 documents
    • Le chapitre « Dénombrement » n'est que rarement l'objet de questions de concours en tant que telles. Cependant, il est assez fréquent (voire systématique) que les points de cours et méthodes usuels au dénombrement soient utilisés en probabilités (notamment lorsque l'on cherche à déterminer le nombre de « cas favorables » à la réalisation d'un événement dont on recherche la probabilité).
      C'est pourquoi ce chapitre mérite une attention particulière de la part du candidat qui devra structurer son raisonnement avec précision pour dénombrer correctement un ensemble car une parfaite maîtrise de ce chapitre est essentielle pour aborder en confiance les calculs de probabilité.
      Cours
      Exercices d'application
      3 exercices combinatoires
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      5 exercices de dénombrement d'ensembles.
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      Probabilités et dénombrement
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      Problèmes
      Ce problème de révision de dénombrements fait le tour des raisonnements classiques, incontournables pour les concours : relation de récurrence entre cardinaux d’ensembles, partitions d’ensembles, raisonnement par récurrence, lien avec les applications. Les raisonnements présentés ici doivent être parfaitement maîtrisés.
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  • Dérivation, convexité - 38 documents
    • Formulaire
      Formulaire Décidabilité Convexité
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      Cours
      * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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      * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      * Limites des fonctions numériques Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées. * Comparaisons locales Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles. * Développements limités notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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      * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      * Continuité Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes. * Dérivabilité d'une fonction numérique Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point. * Dérivabilité sur un intervalle Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables. * Applications de classe Ck Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor. * Applications convexes Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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      * Intégrale des fonctions continues par morceaux Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation. * Calcul approché des intégrales Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes. * Primitives et intégrale d'une fonction continue Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles. * Fonctions à valeurs complexes Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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      * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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      # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème archi-classique et plutôt facile, où on introduit la famille des polynômes de Chebyshev, et où on prouve que ces polynômes possèdent une célèbre propriété de minimalité. A ne pas manquer.
      Niveau de difficulté : 
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      Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
      Niveau de difficulté : 
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      Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin". A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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      On cherche toutes les applications de R dans R qui satisfont à la relation f((x+y)/(1+xy))=f(x)f(y), et qui ont une dérivée positive à l’origine. Partant d’une solution f (en supposant qu’elle existe) on découvre peu à peu les propriétés de f, jusqu’à identifier les deux seules solutions. Un problème intéressant, et qui est le modèle de beaucoup d’autres.
      Niveau de difficulté : 
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      Le but de ce problème est d’approcher numériquement la solution d’une équation différentielle linéaire avec "conditions aux limites". On y utilise beaucoup les techniques classiques du type "Rolle" et "Accroissemens finis". Quelques passages assez techniques. Au bout du compte, un très joli problème: à ne pas manquer!
      Niveau de difficulté : 
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      Dans une première partie, on étudie le sens de variation de l’application f(x)=exp(-1/x), et le comportement d’une suite numérique liée à f. Dans la seconde partie, on établit la forme générale des dérivées succesives de f, et notamment la famille des polynômes qui apparaît dans cette expression.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
      Dans ce problème, on étudie plusieurs applications dont les développements limités à l’origine sont très voisins. Il en résulte des inégalités qui fournissent une approximation (d’une précision ajourd’hui modeste, mais qui dut être intéressante à l’époque où ce thème fut pour la première fois étudié.)
      Niveau de difficulté : 
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      Les quatre exercices indépendants qui composent ce problème illlustrent parfaitement l’importance des études locales (et notamment l’utilisation des développements limités) dans l’étude d’une fonction numérique.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici une équation fonctionnelle dont les solutions sont des fonctions convexes. Un problème très progressif, d'un bon niveau général, idéal pour bien comprendre la notion de convexité.
      Niveau de difficulté : 
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      La méthode de Newton est un moyen classique pour approcher la solution d'une équation f(x) = 0 par itérations successives. Dans une première partie, après quelques généralités sur les fonctions contractantes, on étudie la rapidité de convergence de cette méthode: localement (d'une façon générale) puis globalement (sur deux exemples). La deuxième partie est consacrée aux cas des applications polynomiales, quand il s'agit de trouver la plus grande racine réelle. On voit notamment comment le degré de P ou la multiplicité de la racine cherchée peuvent influencer les performances de la méthode.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce texte est constitué de deux problème indépendants. Dans chacun d'eux, on étudie une famille de fonctions dépendant d'un paramètre: études locales (demi-tangentes, asymptotes et placements) et globales (sens de variation, tracé des courbes). C'est calculatoire donc formateur et utile.
      Niveau de difficulté : 
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      Le thème de la formule d’Euler (et des nombres de Bernoulli, qui y apparaissent) est extrêmement classique, et souvent donné aux concours des grandes écoles d’ingénieurs. A faire absolument.
      Niveau de difficulté : 
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      On cherche à estimer le maximum de la fonction qui à x associe x(x-1)...(x-n)a^(x), où n est un entier et où a est un paramètre réel strictement positif. Cela conduit à des calculs approchés d’intégrales! On utilise les techniques classiques de majoration, notamment l’inégalité de Taylor-Lagrange.
      Niveau de difficulté : 
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      Vous n’échapperez sans doute pas aux polynômes de Chebyshev en classe préparatoire. On traite ici d’un des aspects de cette famille: l’approximation uniforme d’une fonction continue sur un segment. Un problème très complet. A voir absolument.
      Niveau de difficulté : 
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      On se propose ici d'étudier la droite qui approche au mieux un nuage de points du plan (en passant en revue plusieurs critères d'approximation différents.) Joli problème, assez technique, qui peut être traité en débute d'année.
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      Ce problème est constitué de trois parties indépendantes. Dans chacune d’elles, on étudie une suite numérique. Ces trois études sont loin d’être évidentes, et nécessitent des calculs d’encadrements parfois subtils.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on cherche les solutions continues des équations fonctionnelles suivantes: (I) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), (II) f(x-y) = f(x)f(y) + g(x)g(y), (III) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)g(y).
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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  • Développements limités, études de fonctions - 27 documents
  • Ensemble et aplication - 1 document
  • Ensembles finis - 14 documents
  • Entiers naturels - 23 documents
  • Équations différentielles linéaires - 4 documents
    • Cours
      # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      Problèmes
      Sur le problème aux limites
      Niveau de difficulté : 
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      Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Le but de ce problème est d’approcher numériquement la solution d’une équation différentielle linéaire avec "conditions aux limites". On y utilise beaucoup les techniques classiques du type "Rolle" et "Accroissemens finis". Quelques passages assez techniques. Au bout du compte, un très joli problème: à ne pas manquer!
      Niveau de difficulté : 
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  • Espaces préhilbertiens complexe, espaces hermitiens - Aucun document
  • Espaces vectoriels de dimension finie - 15 documents
    • Formulaire
      Formulaire Espaces vectoriels
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      Cours
      * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Dans un espace vectoriel de dimension finie, et si p,q sont deux projecteurs, on étudie si [p,q]=poq-qop peut être une combinaison linéaire de p et q.
      Niveau de difficulté : 
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      La décomposition LU des matrices inversibles est un thème très classique, souvent abordé dans les problèmes de concours. Ce thème est ici traité dans le détail. Le problème est assez long et technique. On y utilise abondamment les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices, et des calculs de matrices par blocs. Il vous faudra une bonne motivation, mais ça vaut le coup.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème, on définit l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien, avant d'étudier les particularités de l'adjonction. On considère ensuite les propriétés des endomorphismes normaux (c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint), ou symétriques, ou antisymétriques. On termine enfin par l'étude de la réduction dans une base orthonormée de ces différents types d'endomorphismes (et en particulier des endomorphismes orthogonaux, qui sont des endomorphismes normaux particuliers.)
      Niveau de difficulté : 
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      Il n'est pas difficile de montrer par exemple que sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5) est irrationnel. On se propose ici de généraliser considérablement ce résultat. Plus précisément, on montre ici que la famille des sqrt(n), où n décrit l'ensemble des produits de facteurs premiers distincts, est une famille libre de R, considéré lui-même comme un espace vectoriel sur le corps Q des rationnels. Ce problème est tout de même un peu difficile, et nécessite quelques rudiments d'arithmétique des nombres premiers.
      Niveau de difficulté : 
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  • Espaces vectoriels et applications linéaires - 17 documents
    • Formulaire
      Formulaire Applications linéaires
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      Cours
      * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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      * Applications multilinéaires applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.) * Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition. * Calcul des déterminants n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème classique et plutôt facile. Recommandé pour tous! A travers l’étude d’une famille de matrices, on aborde en effet différents thèmes: On découvre une structure d’anneau commutatif. On calcule et on factorise des déterminants d’ordre 3. On mène une discussion sur le rang de ces matrices On recherche les puissances n-ièmes de certaines de ces matrices, par deux méthodes différentes.
      Niveau de difficulté : 
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      Le problème est consacré aux conditions qui font que deux projecteurs d’un espace vectoriel peuvent commuter et aux conséquences de cette situation. C’est très classique et très formateur.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici l’image et le noyau des puissances d’une même application linéaire. C’est un des problèmes OBLIGATOIRES du chapitre espaces vectoriels et applications linéaires. Un jour ou l’autre, vous y viendrez.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans un espace vectoriel de dimension finie, et si p,q sont deux projecteurs, on étudie si [p,q]=poq-qop peut être une combinaison linéaire de p et q.
      Niveau de difficulté : 
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  • Fonctions de deux ou trois variables - 4 documents
    • Cours
      # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Problèmes
      Le thème de la formule d’Euler (et des nombres de Bernoulli, qui y apparaissent) est extrêmement classique, et souvent donné aux concours des grandes écoles d’ingénieurs. A faire absolument.
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      Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans une première partie (considérée comme question de cours), on demande le calcul du laplacien en polaires. On étudie ensuite les fonctions harmoniques du plan qui ne dépendent que de l'angle polaire ou de la distance à l'origine. La partie suivante est consacrée à l'étude des opérations sur les fonctions harmoniques. On termine par une partie assez longue consacrée aux fonctions harmoniques polynomiales de deux variables, et on voit leur utilisation dans une propriété de décomposition des fonctions polynomiales homogènes.
      Niveau de difficulté : 
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  • Fonctions usuelles - 48 documents
  • Géométrie affine - 6 documents
    • Cours
      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Dans ce problème, on étudie quelques propriétés classiques de la géométrie du triangle (droite d'Euler, orthocentre, triangle orthique, cercle des neuf points). L'originalité du problème est dans l'utilisation exclusive des nombres complexes dans toutes les démonstrations.
      Niveau de difficulté : 
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      On commence par définir et caractériser l\'orthogonalité de deux cercles. Dans une deuxième partie, on étudie la notion d\'axe radical. La troisième partie est consacrée à l\'étude des différents faisceaux de cercles. Un bon problème de géométrie. Le corrigé contient de nombreuses figures.
      Niveau de difficulté : 
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  • Géométrie euclidienne - 12 documents
    • Cours
      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      * Produit scalaire sur un R-espace vectoriel Définition et propriétés ; inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; norme associée à un produit scalaire ; inégalité triangulaire ; distance associée ; orthogonalité dans un espace préhilbertien réel ; familles orthogonales ou orthonormales ; procédé d'orthonormalisation de Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sev ; projections orthogonales ; d istance d'un vecteur à un sev d'un ev euclidien. * Automorphismes orthogonaux Définitions équivalentes ; groupe orthogonal ; symétries vectorielles orthogonales ; réflexions, demi-tours ; réflexion échangeant deux vecteurs de même norme ; restriction d'un automorphisme orthogonal à un sev stable ; matrices orthogonales ; groupe orthogonal d'indice n ; les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormées, ou encore les matrices de changt de base entre b.o.n.s ; groupe spécial orthogonal ; cas des réflexions ou des demi-tours ; comatrice d'une matrice orthogonale.
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      * Orientation, produit mixte, produit vectoriel Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté. * Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3 Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle. * Sous-espaces affines et orthogonalité Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points. * Angles et isométries en dimension 3 Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3. * Sphères dans l'espace Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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      Exercices d'application
      Problèmes
      Dans ce problème, on étudie quelques propriétés classiques de la géométrie du triangle (droite d'Euler, orthocentre, triangle orthique, cercle des neuf points). L'originalité du problème est dans l'utilisation exclusive des nombres complexes dans toutes les démonstrations.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème étudie l'existence et une construction du point de Fermat d'un triangle ABC, c'est-à-dire du point M qui minimise la somme des distances MA+MB+MC.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
      Niveau de difficulté : 
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      La podaire d'un point A relativement à une parabole P est l\'ensemble des projections de A sur les différentes tangentes à P. On étudie ici les différents cas de figure, suivant la position du point A par rapport à P. On étudie également les propriétés communes à ces différentes podaires. Ce problème permet de réviser la géométrie différentielle des courbes du plan (abscisse curviligne, repère de Frenet, rayon de courbure.)
      Niveau de difficulté : 
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      Un très beau problème de géométrie du triangle. Beaucoup de raisonnements "à l’ancienne": relations angulaires, conditions de perpendicularité ou d’alignement, etc. Vraiment de la belle géométrie!
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      Le problème est beaucoup plus sérieux que son titre ne pourrait le laisser penser. On étudie ici un solide constitué de deux boules (de glaces) tangentes l\'une à l\'autre et tangentes intérieurement à un cône de révolution (le cornet). La dernière question (les smarties) vous donnera sans doute du fil à retordre. Un problème très complet, qui commence par des calculs de volumes (intégrales triples) et qui se poursuit avec des considérations géométriques pas toujours évidentes. Le corrigé complet, largement illustré, est suivi d'une étude du problème avec Maple (admirez l\'illustration finale!)
      Niveau de difficulté : 
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      Gauss, alors agé de 19 ans, découvrit le 30 Mars 1796 que l'heptadécagone (polygone régulier convexe à 17 cotés) était constructible à la règle et au compas. Dans ce problème, on voit la construction proposée par Richmond en 1893. Pour se faire la main, on commence par la construction du pentagone régulier. Pour en arriver là, il faut passer par un peu de trigonométrie, et donner en particulier une expression de cos(2p/5) et cos(2p/17) à l'aide de radicaux.
      Niveau de difficulté : 
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      On commence par définir et caractériser l\'orthogonalité de deux cercles. Dans une deuxième partie, on étudie la notion d\'axe radical. La troisième partie est consacrée à l\'étude des différents faisceaux de cercles. Un bon problème de géométrie. Le corrigé contient de nombreuses figures.
      Niveau de difficulté : 
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  • Groupes, anneaux, corps - 25 documents
    • Formulaire
      Formulaire Structures algébriques simples
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      Cours
      * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      # Le corps des nombres complexes Définition de C ; notation cartésienne ; conjugaison ; module ; fonctions à valeurs complexes ; le plan complexe. # Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) ; formules de Moivre et d'Euler ; forme trigonométrique ; fonction exponentielle complexe. # Equations polynômiales dans C Théorème de d'Alembert ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation du second degré ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; racines n-ièmes de l'unité. # Trigonométrie Applications sinus et cosinus ; applications tangente et cotangente ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation.
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      * Lois de compositions Définition, parties stables, commutativité, associativité, distributivité ; éléments remarquables (neutre, symétrique d'un élément, élements simplifiables) ; morphismes, isomorphismes, isomorphisme réciproque ; propriétés "transportées" par un morphisme surjectif ; monoïde. * Stucture de groupe Définition ; groupe produit ; exemples divers de groupes ; dans un groupe les appns x->ax et x->xa sont bijectives ; table d'un groupe fini ; théorème de Lagrange. * Sous-groupes Définition ; caractérisations pour qu'une partie d'un groupe en soit un sous-groupe ; exemples ; les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ ; intersections quelconques de sous-groupes ; morphismes de groupe ; image (directe ou réciproque) d'un sous-groupe ; image ou noyau d'un morphisme de groupe ; caractérisation de l'injectivité par le noyau. * Groupes monogènes Sous-groupe engendré par un élément (ou une partie) ; ordre d'un élément dans un groupe ; groupes monogènes, groupes cycliques (générateurs.) ; eExemple du groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité ; exemple des groupes (Z/nZ,+) * Le groupe symétrique Groupe des permutations de {1,2,...,n} ; cycles, transpositions ; décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints deux à deux ; décomposition d'une permutation en produit de transpositions ; inversions, signature ; parité d'une permutation ; groupe alterné.
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      # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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      Exercices d'application
      Sur l'équation Diophantienne
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      Problèmes
      Sous-groupes de R
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
      Niveau de difficulté : 
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      Le problème est constitué de deux parties indépendantes. La première décrit une structure algébrique associée à une relation d’ordre. La seconde étudie une structure de groupe. Un bon entraînement pour se mettre à niveau sur le thème des lois de composition.
      Niveau de difficulté : 
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      On étudie ici la notion de groupe ordonné (un groupe muni d’une relation d’ordre compatible avec une relation d’ordre). Ce n’est pas trop difficile mais attention à cette relation d’ordre, qui peut n’être que partielle. D’autre part, sup{a,b} et inf{a,b}, dont il est question dans la dernière partie, désignent respectivement le plus petit des majorants de a et b, et le plus grand des minorants de a,b (cette notion est hors-programme sauf dans R).
      Niveau de difficulté : 
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      Un problème très classique, et pas très difficile. Vraiment efficace pour comprendre la structure d’anneau (notamment les difficultés spécifiques aux anneaux non commutatifs.)
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème très complet (donc assez long) on se propose d'étudier les propriétés des homographies du plan complexe (complété par un point à l'infini). Le problème est en dix parties: (I) Le groupe des homographies. (II) Conservation des cercles ou droites par z->1/z. (III) idem avec une homographie quelconque. (IV) Homographies et conservation des angles (par la géométrie différentielle). (V) Homographies et conservation de l'orthogonalité (par une méthode purement algébrique). (VI) Action des homographies sur les disques et les demi-plans. (VII) Points fixes et birapport. (VIII) Conjugaison des homographies. (IX) Puissances d'homographies. (X) Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné.
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      Un joli problème de calcul matriciel, inspiré d'un vieux problème de HEC devenu méconnaissable. Les triplets rectangulaires sont les (x, y, z) tels que x²+y² = z², où x, y, z sont des entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble. On étudie dans ce problème les matrices à coefficients entiers qui laissent invariante la forme quadratique x²+y²-z², et qui agissent donc sur les triplets rectangulaires. Il y a plein de calculs qu'on peut éviter si on est malin, et il est beaucoup question de structures de groupe.
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  • Intégrales doubles ou triples - 3 documents
    • Problèmes
      On connait (en général, car elle n’est pas au programme!) la méthode de Simson, qui permet d’approcher une intégrale sur un segment. On verra dans ce problème court et facile comment cette méthode se généralise aux intégrales doubles.
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      Le problème est beaucoup plus sérieux que son titre ne pourrait le laisser penser. On étudie ici un solide constitué de deux boules (de glaces) tangentes l\'une à l\'autre et tangentes intérieurement à un cône de révolution (le cornet). La dernière question (les smarties) vous donnera sans doute du fil à retordre. Un problème très complet, qui commence par des calculs de volumes (intégrales triples) et qui se poursuit avec des considérations géométriques pas toujours évidentes. Le corrigé complet, largement illustré, est suivi d'une étude du problème avec Maple (admirez l\'illustration finale!)
      Niveau de difficulté : 
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      La cardioïde fait partie des courbes en polaires les plus étudiées. Elle possède en effet de nombreuses propriétés, dont certaines sont étudiées ici. Citons notamment les caractéristiques du triangle formé par les trois points de la cardioïde où la tangente est parallèle à une direction donnée, ou encore la génération d'une cardioïde par roulement sans glissement d'un cercle sur un autre. On étudie également les propriétés différentielles de la cardioïde (abscisse curviligne, longueur, repère de Frenet, lieu du centre de courbure). On calcule certains éléments d'inertie de la courbe (ou de la plaque du plan délimité par elle). On termine en faisant rouler sans glisser une cardioïde sur un arche de cycloïde!
      Niveau de difficulté : 
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  • Intégration sur un intervalle quelconque - 3 documents
    • Exercices d'application
      Problèmes
      Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
      Niveau de difficulté : 
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  • Intégration sur un segment, primitives - 32 documents
    • Formulaire
      Formulaire Intégration sur un segment
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      Cours
      * Primitives d'une application continue sur un intervalle * Méthodes de calcul des intégrales Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles. * Compléments sur le calcul des primitives Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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      # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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      * Intégrale des fonctions continues par morceaux Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation. * Calcul approché des intégrales Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes. * Primitives et intégrale d'une fonction continue Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles. * Fonctions à valeurs complexes Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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      Exercices d'application
      Sommes de Riemann II, 5 exercices
      Niveau de difficulté : 
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      Sommes de Riemann I, 5 exercices corrigés
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes
      Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
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      Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin". A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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      On étudie une famille de fonctions f dépendant d’un parammètre: le sens de variation, les études locales (asymptotes, développements limités) font l’objet de discussions où apparaissent de nombreux cas particuliers. La seconde partie du problème propose un calcul d’intégrales relatives aux fonctions f.
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      Le thème de la formule d’Euler (et des nombres de Bernoulli, qui y apparaissent) est extrêmement classique, et souvent donné aux concours des grandes écoles d’ingénieurs. A faire absolument.
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      On cherche à estimer le maximum de la fonction qui à x associe x(x-1)...(x-n)a^(x), où n est un entier et où a est un paramètre réel strictement positif. Cela conduit à des calculs approchés d’intégrales! On utilise les techniques classiques de majoration, notamment l’inégalité de Taylor-Lagrange.
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      Un problème technique qui constitue un très bon entraînement au calcul intégral. On y étudie des fonctions définies par des intégrales, et les résultats conduisent aux calculs de certaines séries classiques. La dernière partie propose une accélération de convergence, le but étant finalement d’obtenir une bonne approximation de Pi^2. Finalement un problème d’analyse très complet.
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      Les polynômes de Legendre sont de grands classiques, et ils donnent lieu ici à un problème très complet. On y voit comment ces polynômes permettent d'établir une formule d'intégration approchée redoutablement efficace.
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      La cardioïde fait partie des courbes en polaires les plus étudiées. Elle possède en effet de nombreuses propriétés, dont certaines sont étudiées ici. Citons notamment les caractéristiques du triangle formé par les trois points de la cardioïde où la tangente est parallèle à une direction donnée, ou encore la génération d'une cardioïde par roulement sans glissement d'un cercle sur un autre. On étudie également les propriétés différentielles de la cardioïde (abscisse curviligne, longueur, repère de Frenet, lieu du centre de courbure). On calcule certains éléments d'inertie de la courbe (ou de la plaque du plan délimité par elle). On termine en faisant rouler sans glisser une cardioïde sur un arche de cycloïde!
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      Dans ce problème on cherche les solutions continues des équations fonctionnelles suivantes: (I) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), (II) f(x-y) = f(x)f(y) + g(x)g(y), (III) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)g(y).
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      Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
      Niveau de difficulté : 
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      Dans ce problème on établit quelques résultats classiques d'irrationnalité, notamment l'irrationnalité du nombre e, de Pi, ou encore celle de tan(Pi*x), pour x rationnel (le seul x rationnel de ]0,1[ tel que tan(Pi*x) soit rationnel est x=1/3.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Limites et continuité des fonctions numériques - 48 documents
  • Logique et ensembles - 21 documents
  • Nombres complexes, trigonométrie - 29 documents
    • Formulaire
      Formulaire Trigonométrie circulaire et hyperbolique
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      Formulaire Nombres complexes
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      Cours
      # Le corps des nombres complexes Définition de C ; notation cartésienne ; conjugaison ; module ; fonctions à valeurs complexes ; le plan complexe. # Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) ; formules de Moivre et d'Euler ; forme trigonométrique ; fonction exponentielle complexe. # Equations polynômiales dans C Théorème de d'Alembert ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation du second degré ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; racines n-ièmes de l'unité. # Trigonométrie Applications sinus et cosinus ; applications tangente et cotangente ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation.
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      * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Exercices d'application
      Six exercices indépendants sur les nombres complexes, tous inspirés d'exercices d'olympiades.
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      Problèmes
      On connait les valeurs exactes de cos(Pi/6) par exemple, mais celles de cos(Pi/5) et cos(Pi/17)? C’est l’objet de ce problème de montrer que ces valeurs sont calculables par radicaux superposés. La formule donnant cos(Pi/17) est dûe au grand mathématicien Gauss.
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      Dans ce problème, on étudie quelques propriétés classiques de la géométrie du triangle (droite d'Euler, orthocentre, triangle orthique, cercle des neuf points). L'originalité du problème est dans l'utilisation exclusive des nombres complexes dans toutes les démonstrations.
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      Ce problème décrit la méthode de Cardan de résolution des équations du troisième degré à coefficients réels ou complexes.
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      Ce problème étudie l'existence et une construction du point de Fermat d'un triangle ABC, c'est-à-dire du point M qui minimise la somme des distances MA+MB+MC.
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      Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
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      Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
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      Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
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      Un problème assez court, plutôt facile, où on étudie les puissances successives d’un nombre complexe de module 1. On constate que ces puissances successives sont toutes distinctes et qu’elles forment une partie "dense" du cercle unité.
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      Un petit problème, assez facile, qui propose une démonstration de l’égalité 1+1/2²+1/3²+...+1/n²+...=Pi²/6 On utilise une factorisation d’un polynôme Q à coefficients complexes, ainsi que les relations entre coefficients et racines. Hyper-classique.
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      Ce problème étudie les polynômes trigonométriques (combinaisons linéaires de fonctions exponentielles) à coefficients réels, et qui sont à valeurs réelles (ou même à valeurs réelles positives.)
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      Gauss, alors agé de 19 ans, découvrit le 30 Mars 1796 que l'heptadécagone (polygone régulier convexe à 17 cotés) était constructible à la règle et au compas. Dans ce problème, on voit la construction proposée par Richmond en 1893. Pour se faire la main, on commence par la construction du pentagone régulier. Pour en arriver là, il faut passer par un peu de trigonométrie, et donner en particulier une expression de cos(2p/5) et cos(2p/17) à l'aide de radicaux.
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      Dans ce problème très complet (donc assez long) on se propose d'étudier les propriétés des homographies du plan complexe (complété par un point à l'infini). Le problème est en dix parties: (I) Le groupe des homographies. (II) Conservation des cercles ou droites par z->1/z. (III) idem avec une homographie quelconque. (IV) Homographies et conservation des angles (par la géométrie différentielle). (V) Homographies et conservation de l'orthogonalité (par une méthode purement algébrique). (VI) Action des homographies sur les disques et les demi-plans. (VII) Points fixes et birapport. (VIII) Conjugaison des homographies. (IX) Puissances d'homographies. (X) Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné.
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  • Nombres réels - 31 documents
    • Cours
      * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
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      * Généralités sur les suites Suites d'éléments d'un ensemble quelconque ; suites extraites ; suites périodiques ou stationnaires ; suites définies par récurrence ; généralités sur les suites numériques ; suites arithmétiques ou géométriques. Suites réelles ou complexes obéissant à une récurrence linéaire double aun+2+bun+1+cun=0 * Limite d'une suite numérique Définitions générales ; propriétés des suites admettant une limite ; limites et ordre dans la droite numérique achevée ; suites réelles monotones, et conséquences (suites adjacentes, théorème des segments emboîtés, théorème de de Bolzano-Weierstrass) ; suites de Cauchy ; limites particulières ; formes indéterminées ; pratique de l'étude des suites réelles.
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      # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
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      Exercices d'application